题目内容
某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-
(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（Ⅰ）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（Ⅱ）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
| k | m+1 |
（Ⅰ）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（Ⅱ）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
分析：（Ⅰ）由题意把m=0，x=1代入x=3-
求出k值，求出每件产品的销售价格，由利润等于收入减去费用得到利润y万元与促销费用m万元的函数关系式；
（Ⅱ）直接利用基本不等式求最值．
| k |
| m+1 |
（Ⅱ）直接利用基本不等式求最值．
解答：解：（I）由题意可知当m=0时，x=1（万件），∴1=3-k，即k=2，
∴x=3-
，
每件产品的销售价格为1.5×
（元），
∴2008年的利润y=x[1.5×
]-(8+16x+m)
=4+8x-m=4+8(3-
)-m
=-[
+(m+1)]+29(m≥0)；
（II）当m≥0时，
+(m+1)≥2
=8，
∴y≤-9+29=21，
当且仅当
=m+1，即m=3（万元）时，ymax=21（万元）．
答：该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
∴x=3-
| 2 |
| m+1 |
每件产品的销售价格为1.5×
| 8+16x |
| x |
∴2008年的利润y=x[1.5×
| 8+16x |
| x |
=4+8x-m=4+8(3-
| 2 |
| m+1 |
=-[
| 16 |
| m+1 |
（II）当m≥0时，
| 16 |
| m+1 |
|
∴y≤-9+29=21，
当且仅当
| 16 |
| m+1 |
答：该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
练习册系列答案
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(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件．已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
万件与年促销费用
万元（
（
为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用）．
(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件. 已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1 万元该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）. 
(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件,已知2008年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).