Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．

(Ⅰ)若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；

(Ⅱ)当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A―PD―Q的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解法1：(Ⅰ)如图，连，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有． 　　2分 　　设，则， 　　在中，有． 　　在中，有　　4分 　　在中，有． 　　即，即． 　　∴． 　　故的取值范围为　　6分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当，时，边BC上存在唯一点Q(Q为BC边的中点)，使PQ⊥QD 　　过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD． 　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD． 　　过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD． 　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角　　8分 　　在等腰直角三角形中，可求得，又，进而　　10分 　　∴． 　　故二面角A－PD－Q的余弦值为　　12分