题目内容

【题目】对于函数f(x),如果存在非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[﹣1,1]时,f(x)=x2 , 则y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为(
A.3
B.4
C.5
D.6

【答案】B
【解析】解:∵函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),

∴f(x)是周期为2的周期性函数,

又x∈[﹣1,1]时,f(x)=x2

根据函数的周期性画出图形,如图,

由图可得y=f(x)与y=log5x的图象有4个交点

故选:B.

f(x)是周期为2的周期性函数,根据函数的周期性画出图形,利用数形结合思想能求出y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数.

练习册系列答案
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【题目】阅读下面材料,尝试类比探究函数y=x2 的图象,写出图象特征,并根据你得到的结论,尝试猜测作出函数对应的图象. 阅读材料:
我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.
在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子.
对于函数y= ,我们可以通过表达式来研究它的图象和性质,如:

(1)在函数y= 中,由x≠0,可以推测出,对应的图象不经过y轴,即图象与y轴不相交;由y≠0,可以推测出,对应的图象不经过x轴,即图象与x轴不相交.
(2)在函数y= 中,当x>0时y>0;当x<0时y<0,可以推测出,对应的图象只能在第一、三象限;
(3)在函数y= 中,若x∈(0,+∞)则y>0,且当x逐渐增大时y逐渐减小,可以推测出,对应的图象越向右越靠近x轴;若x∈(﹣∞,0),则y<0,且当x逐渐减小时y逐渐增大,可以推测出,对应的图象越向左越靠近x轴;
(4)由函数y= 可知f(﹣x)=﹣f(x),即y= 是奇函数,可以推测出,对应的图象关于原点对称. 结合以上性质,逐步才想出函数y= 对应的图象,如图所示,在这样的研究中,我们既用到了从特殊到一般的思想,由用到了分类讨论的思想,既进行了静态(特殊点)的研究,又进行了动态(趋势性)的思考.让我们享受数学研究的过程,传播研究数学的成果.

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