题目内容
对任意两个非零的平面向量
和
，定义
?
=
．若两个非零的平面向量
，
满足
与
的夹角θ∈(
，
)，且
?
和
?
都在集合{
|n∈Z}中，则
?
=
．
| α |
| β |
| α |
| β |
| ||||
|
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| a |
| b |
| b |
| a |
| n |
| 2 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
分析：由新定义分别可得
?
和
?
，由题意可
?
=
，
?
=
，（n1，n2∈Z），两式相乘可得0＜n1n2＜2，由整数的特点可得n1，n2的值，可得答案．
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| n1 |
| 2 |
| b |
| a |
| n2 |
| 2 |
解答：解：由新定义可得：
?
=
=
=
cosθ，
?
=
=
=
cosθ，
又因为
?
和
?
都在集合{
|n∈Z}中，
设
?
=
，
?
=
，（n1，n2∈Z），
可得（
?
）•（
?
）=cos2θ=
，
又θ∈（
，
），所以0＜n1n2＜2
所以n1，n2的值均为1，故
?
=
=
故答案为：
| a |
| b |
| ||||
|
|
| ||||
|
|
|
| ||
|
|
| b |
| a |
| ||||
|
|
| ||||
|
|
|
| ||
|
|
又因为
| a |
| b |
| b |
| a |
| n |
| 2 |
设
| a |
| b |
| n1 |
| 2 |
| b |
| a |
| n2 |
| 2 |
可得（
| a |
| b |
| b |
| a |
| n1n2 |
| 4 |
又θ∈（
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
所以n1，n2的值均为1，故
| a |
| b |
| n1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故答案为：
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查数量积与夹角的关系，准确把新定义转化为熟悉的数量积是解决问题的关键，属中档题．
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