题目内容
对任意两个非零的平面向量
和
，定义
?
=
，若平面向量
，
满足|
|≥|
|＞0，
与
的夹角θ∈（0，
），且
?
和
?
都在集合{
|n∈Z}中，则
•
=（ ）
| α |
| β |
| α |
| β |
| ||||
|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 3 |
| a |
| b |
| b |
| a |
| n |
| 2 |
| a |
| b |
分析：根据题中的定义，化简整理得
?
=
且
?
=
，其中m、n都是整数．两式相乘可得cos2θ=
，由|
|≥|
|＞0且
与
的夹角的范围，讨论可得m，n，从而得出
?
的值．
| a |
| b |
| n |
| 2 |
| b |
| a |
| m |
| 2 |
| mn |
| 4 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：解：由题意，可得
?
=
=
，
同理可得：
?
=
=
，其中m、n都是整数
将化简的两式相乘，可得cos2θ=
．
∵|
|≥|
|＞0，∴n≥m 且 m、n∈z，
∵
与
的夹角θ∈（0，
），可得cos2θ∈（
，1）
即
∈（
，1），结合m、n均为整数，可得m=1且n=3，或m=1且n=2，
从而得
?
=
=
或者1，
故选D．
| a |
| b |
|
| ||
|
|
| n |
| 2 |
同理可得：
| b |
| a |
|
| ||
|
|
| m |
| 2 |
将化简的两式相乘，可得cos2θ=
| mn |
| 4 |
∵|
| a |
| b |
∵
| a |
| b |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
即
| mn |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
从而得
| a |
| b |
| n |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
故选D．
点评：本题给出新定义，求式子
?
的值．着重考查了向量数量积及其运算性质、三角函数的性质和整数解的讨论等知识，属于中档题．
| a |
| b |
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