Question

20、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^＊，且x₁＞0。不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。

（Ⅰ）求x_n+1与x_n的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

（Ⅲ）设a＝2，c＝1，为保证对任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。

Answer 1

20．解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为

   （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁， n∈N^*，从而由（*）式得

  

   因为x₁>0，所以a>b.

   猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.

   （Ⅲ）若b的值使得x_n>0，n∈N^*    

   由x_n+1=x_n (3－b－x_n), n∈N^*, 知

   0<x_n<3－b, n∈N^*, 特别地，有0<x₁<3－b. 即0＜b＜3-x₁.

   而x₁∈(0, 2)，所以

   由此猜测b的最大允许值是1.

   下证 当x₁∈(0, 2) ，b=1时，都有x_n∈(0, 2), n∈N^*

①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即x_k∈(0, 2),

则当n=k+1时，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.

又因为x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,

所以x_k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N^*，都有x_n∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x₁∈(0, 2), 都有x_n >0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.