题目内容
自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年初的总量，n∈N*，且x1＞0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正数a，b，c其中b称为捕捞强度．
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）设a=2，c=1，为了保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度B的最大允许值是多少？证明你的结论．
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）设a=2，c=1，为了保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度B的最大允许值是多少？证明你的结论．
分析：（1）依题意，xn+1-xn=axn-bxn-cxn2，n∈N*，整理即可；
（2）由xn+1=xn（3-b-xn）＞0（n∈N*）⇒0＜xn＜3-b，特别地有0＜x1＜3-b，从而可得0＜b＜3-x1（x1∈（0，2）），从而可得b∈（0，1]，利用数学归纳法去证当b=1时，恒有2＞xn＞0，n∈N*，由此确定b的允许最大值是1即可．
（2）由xn+1=xn（3-b-xn）＞0（n∈N*）⇒0＜xn＜3-b，特别地有0＜x1＜3-b，从而可得0＜b＜3-x1（x1∈（0，2）），从而可得b∈（0，1]，利用数学归纳法去证当b=1时，恒有2＞xn＞0，n∈N*，由此确定b的允许最大值是1即可．
解答：解：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为cxn2，依题意：
xn+1-xn=axn-bxn-cxn2，n∈N*，
即xn+1=xn（a-b+1-cxn），n∈N*．
（2）若b的值使得xn＞0，n∈N*，
由xn+1=xn（3-b-xn）＞0（n∈N*）知0＜xn＜3-b，特别地有0＜x1＜3-b，
即0＜b＜3-x1，
而x1∈（0，2），所以b∈（0，1]，以下去证当b=1时，恒有2＞xn＞0，n∈N*，由此确定b的允许最大值是1．
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即x1∈（0，2）．
则当n=k+1时，xk+1=xk（2-xk）=1-(xk-1)2，
因为xk∈（0，2），所以xk+1∈（0，1）⊆（0，2）．
故当n=k+1时结论也成立．
由①②可知对于任意n∈N*恒有2＞xn＞0．
综上，为了保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1．
xn+1-xn=axn-bxn-cxn2，n∈N*，
即xn+1=xn（a-b+1-cxn），n∈N*．
（2）若b的值使得xn＞0，n∈N*，
由xn+1=xn（3-b-xn）＞0（n∈N*）知0＜xn＜3-b，特别地有0＜x1＜3-b，
即0＜b＜3-x1，
而x1∈（0，2），所以b∈（0，1]，以下去证当b=1时，恒有2＞xn＞0，n∈N*，由此确定b的允许最大值是1．
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即x1∈（0，2）．
则当n=k+1时，xk+1=xk（2-xk）=1-(xk-1)2，
因为xk∈（0，2），所以xk+1∈（0，1）⊆（0，2）．
故当n=k+1时结论也成立．
由①②可知对于任意n∈N*恒有2＞xn＞0．
综上，为了保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1．
点评：本题考查数列的递推关系，着重考查化归思想与抽象思维、创新思维，突出数学归纳法在推理、证明中的应用，属于难题．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目