题目内容
如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，点F在DE上，且AF⊥DE，若圆柱的侧面积与△ABE的面积之比等于4π. 007
（Ⅰ）求证：AF⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A―BD―E的正弦值.
【答案】
【解】（Ⅰ）因为AD⊥平面ABE，所以 AD⊥BE. （1分）
又AE⊥BE，AD∩AE＝A，所以BE⊥平面ADE. （2分）
因为AF
平面ADE，所以BE⊥AF.
（3分）
又AF⊥DE，所以AF⊥平面BDE，故AF⊥BD. （4分）
（Ⅱ）取BD的中点M，连结AM，FM.
因为AB＝AD，则AM⊥BD.因为AF⊥平面BDE，则AF⊥BD.
所以BD⊥平面AFM，从而FM⊥BD，所以∠AMF为二面角A―BD―E的平面角. （6分）
过点E作EO⊥AB，垂足为O.
设圆柱的底半径为r，因为圆柱的轴截面ABCD是正方形，
则圆柱的母线长为2r，所以其侧面积为
，
又△ABE的面积为
.
由已知，
，则OE＝r，
所以点O为圆柱底面圆的圆心. （8分）
在Rt△AOE中，
.
在Rt△DAE中，
，
.
（10分）
又
，在Rt△AFM中，
.
故二面角A―BD―E的正弦值为
.
（12分）
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