题目内容
函数的导数为0的点称为函数的驻点，若点(1,1)为函数f(x)的驻点，则称f(x)具有“1—1驻点性”.
（1）设函数f(x)=-x+2
+alnx，其中a≠0。
①求证：函数f(x)不具有“1—1驻点性”；②求函数f(x)的单调区间
（2）已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“1—1驻点性”，给定x1，x2ÎR，x1＜x2，设λ为实数，且λ≠-1，α=
，β=
，若|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|，求λ的取值范围.
解：（Ⅰ）①
=-1+
+
∵
=-1+1+a≠0，
∴函数f(x)不具有“1—1驻点性”.…………………………………………2分
②由=
= 
(ⅰ)当a+
＜0,即a＜-时，＜0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数；
(ⅱ)当a+=0,即a=-时，显然≤0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数；………………………………4分
(ⅲ)当a+＞0，即a＞-时，由=0得=
±
…………………………………………6分
当-＜a＜0时，-＞0∴xÎ(0, a+-)时，＜0;
xÎ( a+-, a++)时，＞0; xÎ( a++, +∞)时，＜0;
当a＞0时，-＜0 ∴xÎ(0, a++)时，＞0; xÎ( a++,+∞)时，＜0;
综上所述：当a≤-时，函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞)；
当-＜a＜0时，函数f(x)的单调递减区间为(0, a+-)和( a++,+∞)，
函数f(x)的单调递增区间为( a+-, a++)；
当a＞0时,函数f(x)的单调递增区间为(0, a++)，
函数f(x)的单调递减区间为( a++, +∞)；…………………………………………9分
（Ⅱ）由题设得：
=3bx2+6x+c,∵g(x)具有“1—1驻点性”∴
且
即
解得
∴=-3x2+6x-3=-3(x-1)2≤0，故g(x)在定义域R上单调递减.
①当λ≥0时，有α=≥
=x1，α=＜
=x2，即αÎ[x1,x2),同理βÎ(x1,x2] ………11分
由g(x)的单调性可知：g(α)，g(β)Î[ g(x2),g(x1)]∴|g(α)-g(β)|≤|g(x1)-g(x2)|与题设|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|不符.
②当-1＜λ＜0时，α=＜=x1，β=＞=x2……………………………………13分
即α＜x1＜x2＜β∴g(β)＜g(x2)＜g(x1)＜g(α)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|，符合题设
③当λ＜-1时，α=＞=x2, β=＜=x1，即β＜x1＜x2＜α
∴g(α)＜g(x2)＜g(x1)＜g(β)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|也符合题设……… ……………………15分
由此，综合①②③得所求的λ的取值范围是λ＜0且λ≠-1
+alnx，其中a≠0．
，β=
，若|g（α）-g（β）|＞|g（x1）-g（x2）|，求λ的取值范围．
+alnx，其中a≠0．
，β=
，若|g（α）-g（β）|＞|g（x1）-g（x2）|，求λ的取值范围．