题目内容
函数的导数为0的点称为函数的驻点，若点（1，1）为函数f（x）的驻点，则称f（x）具有“1-1驻点性”．
（1）设函数f（x）=-x+2
+alnx，其中a≠0．
①求证：函数f（x）不具有“1-1驻点性”
②求函数f（x）的单调区间
（2）已知函数g（x）=bx3+3x2+cx+2具有“1-1驻点性”，给定x1，x2∈R，x1＜x2，设λ为实数，且λ≠-1，α=
，β=
，若|g（α）-g（β）|＞|g（x1）-g（x2）|，求λ的取值范围．
（1）设函数f（x）=-x+2
| x |
①求证：函数f（x）不具有“1-1驻点性”
②求函数f（x）的单调区间
（2）已知函数g（x）=bx3+3x2+cx+2具有“1-1驻点性”，给定x1，x2∈R，x1＜x2，设λ为实数，且λ≠-1，α=
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| x2+λx1 |
| 1+λ |
分析：（1）①对函数f（x）=-x+2
+alnx求导，验证f′（1）≠0即可说明函数f（x）不具有“1-1驻点性”；②根据导数的符号和函数单调性的关系，即f′（x）＞0时不等式解集就是函数的单调递增区间，f′（x）＜0时不等式解集就是函数的单调递减区间，注意对参数a的讨论；
（2）由题设知，函数g（x）得导数g′（x）=g′（x）=3bx2+6x+c，根据g（x）具有“1-1驻点性，求出b，c的值，从而g（x）在R上单调递减，分①λ≥0②-1＜λ＜0③λ＜-1三种情况讨论求解λ得范围即可
| x |
（2）由题设知，函数g（x）得导数g′（x）=g′（x）=3bx2+6x+c，根据g（x）具有“1-1驻点性，求出b，c的值，从而g（x）在R上单调递减，分①λ≥0②-1＜λ＜0③λ＜-1三种情况讨论求解λ得范围即可
解答：解：（1）①f′（x）=-1+
+
∵f′（1）=-1+1+a≠0，
∴函数f（x）不具有“1-1驻点性”．
②由f′（x）=
=
（ⅰ）当a+
＜0，即a＜-
时，f′（x）＜0．∴f（x）是（0，+∞）上的减函数；
（ⅱ）当a+
=0，即a=-
时，显然f′（x）≤0．∴f（x）是（0，+∞）上的减函数
（ⅲ）当a+
＞0，即a＞-
时，由f′（x）=0得
=
±
当-
＜a＜0时，
-
＞0
∴x∈（0，a+
-
）时，f′（x）＜0；
x∈（ a+
-
，a+
+
）时，f′（x）＞0； x∈（a+
+
，+∞）时，f′（x）＜0；
当a＞0时，
-
＜0
∴x∈（0，a+
+
）时，f′（x）＞0； x∈（ a+
+
，+∞）时，f′（x）＜0；
综上所述：当a≤-
时，函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当-
＜a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a+
-
）和（ a+
+
，+∞），
函数f（x）的单调递增区间为（ a+
-
，a+
+
）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，a+
+
），
函数f（x）的单调递减区间为（ a+
+
，+∞）
（Ⅱ）由题设得：g′（x）=3bx2+6x+c，
∵g（x）具有“1-1驻点性”∴g（1）=1且g′（1）=0
即
解得
∴g′（x）=-3x2+6x-3=-3（x-1）2≤0，故g（x）在定义域R上单调递减．
①当λ≥0时，α=
≥
=x1，α=
＜
=x2，即α∈[x1，x2），同理β∈（x1，x2]
由g（x）的单调性可知：g（α），g（β）∈[g（x2），g（x1）]
∴|g（α）-g（β）|≤|g（x1）-g（x2）|与题设|g（α）-g（β）|＞|g（x1）-g（x2）|不符．
②当-1＜λ＜0时，α=
＜
=x1，β=
＞
=x2
即α＜x1＜x2＜β∴g（β）＜g（x2）＜g（x1）＜g（α）
∴|g（α）-g（β）|＞|g（x1）-g（x2）|，符合题设
③当λ＜-1时，α=
＞
=x2，β=
＜
=x1，即β＜x1＜x2＜α
∴g（α）＜g（x2）＜g（x1）＜g（β）
∴|g（α）-g（β）|＞|g（x1）-g（x2）|也符合题设
由此，综合①②③得所求的λ的取值范围是λ＜0且λ≠-1
| 1 | ||
|
| a |
| x |
∵f′（1）=-1+1+a≠0，
∴函数f（x）不具有“1-1驻点性”．
②由f′（x）=
-x+
| ||
| x |
-(
| ||||||
| x |
（ⅰ）当a+
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（ⅱ）当a+
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（ⅲ）当a+
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| x |
| 1 |
| 2 |
a+
|
当-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
a+
|
∴x∈（0，a+
| 1 |
| 2 |
a+
|
x∈（ a+
| 1 |
| 2 |
a+
|
| 1 |
| 2 |
a+
|
| 1 |
| 2 |
a+
|
当a＞0时，
| 1 |
| 2 |
a+
|
∴x∈（0，a+
| 1 |
| 2 |
a+
|
| 1 |
| 2 |
a+
|
综上所述：当a≤-
| 1 |
| 4 |
当-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
a+
|
| 1 |
| 2 |
a+
|
函数f（x）的单调递增区间为（ a+
| 1 |
| 2 |
a+
|
| 1 |
| 2 |
a+
|
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，a+
| 1 |
| 2 |
a+
|
函数f（x）的单调递减区间为（ a+
| 1 |
| 2 |
a+
|
（Ⅱ）由题设得：g′（x）=3bx2+6x+c，
∵g（x）具有“1-1驻点性”∴g（1）=1且g′（1）=0
即
|
|
∴g′（x）=-3x2+6x-3=-3（x-1）2≤0，故g（x）在定义域R上单调递减．
①当λ≥0时，α=
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| x1+λx1 |
| 1+λ |
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| x2+λx2 |
| 1+λ |
由g（x）的单调性可知：g（α），g（β）∈[g（x2），g（x1）]
∴|g（α）-g（β）|≤|g（x1）-g（x2）|与题设|g（α）-g（β）|＞|g（x1）-g（x2）|不符．
②当-1＜λ＜0时，α=
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| x1+λx1 |
| 1+λ |
| x2+λx1 |
| 1+λ |
| x2+λx2 |
| 1+λ |
即α＜x1＜x2＜β∴g（β）＜g（x2）＜g（x1）＜g（α）
∴|g（α）-g（β）|＞|g（x1）-g（x2）|，符合题设
③当λ＜-1时，α=
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| x2+λx2 |
| 1+λ |
| x2+λx1 |
| 1+λ |
| x1+λx1 |
| 1+λ |
∴g（α）＜g（x2）＜g（x1）＜g（β）
∴|g（α）-g（β）|＞|g（x1）-g（x2）|也符合题设
由此，综合①②③得所求的λ的取值范围是λ＜0且λ≠-1
点评：本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属难题．
练习册系列答案
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+alnx，其中a≠0．
，β=
，若|g（α）-g（β）|＞|g（x1）-g（x2）|，求λ的取值范围．
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，β=
，若|g(α)-g(β)|＞|g(x1)-g(x2)|，求λ的取值范围.
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