题目内容

已知二次函数f（t）=at2-
b
t+
1
4a
（t∈R）有最大值，且最大值为正实数，集合A={x|
x-a
x
＜0}，集合B={x|x2＜b2}
（1）求集合A和B；
（2）定义：“A-B={x∈A，且x∉B}”设a，b，x均为整数，且x∈A．记P（E）为x取自集合A-B的概率，P（F）x取集合A∩B的概率．已知P（E）=
2
3
，P（F）=
1
3
．记满足上述条件的所有a的值从小到大排列构成的数列为{an}，所有b的值从小到大排列构成数列{bn}．
①求a1，a2，a3和b1，b2，b3；
②请写出数列{an}和{bn}的通项公式（不必证明）；
③如果在函数中f（t）中，a=an，b=bn，记f（t）的最大值为g（n），cn=
1-12g(n)
4g(n)
，Sn=c1c2+c2c3+…+cncn+1，求证：Sn＜1．
分析：（1）由f（t）有最大值，知a＜0．由f（t）max=
1-b
4a
得b＞1，由此能求出集合A和B．
（2）①因为P（E）=
2
3
，P（F）=
1
3
，再由A中整数的个数，分别求出a1，a2，a3和b1，b2，b3．
②an=-3n-1，bn=n+1．
③由g（n）=
1-bn
4an
=
n
4(3n+1)
，知cn=
1-12g(n)
4g(n)
=
1
n
，由此能够证明Sn＜1．
解答：解：（1）∵f（t）有最大值，∴a＜0．
由f（t）max=
1-b
4a
得b＞1，（2分）
故A={x|a＜x＜0}，B={x|-b＜x＜b}（4分）
（2）①因为P（E）=
2
3
，P（F）=
1
3
所以考虑一下情形：
当A中有3个整数时，A-B中有2个，A∩B中有1个，则a=-4，b=2；
当A中有6个整数时，A-B中有4个，A∩B中有2个，则a=-7，b=3；
当A中有9个整数时，A-B中有6个，A∩B中有3个，则a=-10，b=4；
故a1=-4，a2=-7，a3=-10；b1=2，b2=3，b3=4（7分）
②an=-3n-1，bn=n+1（19分）
③∵g（n）=
1-bn
4an
=
n
4(3n+1)
，∴cn=
1-12g(n)
4g(n)
=
1
n
，
∴cncn+1=
1
n
×
1
n+1
=
1
n
-
1
n+1
，∴Sn=（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）++（
1
n
-
1
n+1
）=1-
1
n+1
＜1
（13分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的合理运用．
练习册系列答案
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已知二次函数f（t）=at2-
b
t+
1
4a
（t∈R）有最大值且最大值为正实数，集合A=
x/
x-a
x
＜0
，集合B=
x/x2＜b2
．
（1）求A和B；
（2）定义A与B的差集：A-B=
x/x∈A
且x∉B．且x∈A．P（E）为x取自A-B的概率．P（F）为x取自A/B的概率．解答下面问题：
①当a=-3，b=2时，求P（E），P（F）取值？
②设a，b，x均为整数时，写出a与b的三组值，使P（E）=
2
3
，P（F）=
1
3
．
已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3-x）=f（x），且有最小值是
74
．g（x）=2x+m．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 求函数h（x）=f（x）-（2t-3）x在区间[0，1]上的最小值，其中t∈R；
（Ⅲ）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[p，q]上的两个函数，若函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈[p，q]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[p，q]上是“关联函数”，区间[p，q]称为“关联区间”．若f（x）与g（x）在[0，3]上是“关联函数”，求m的取值范围．
已知二次函数f（t）=at2-
b
t+
1
4a
（t∈R）有最大值且最大值为正实数，集合A=
x/
x-a
x
＜0
，集合B=
x/x2＜b2
．
（1）求A和B；
（2）定义A与B的差集：A-B=
x/x∈A
且x∉B．且x∈A．P（E）为x取自A-B的概率．P（F）为x取自A/B的概率．解答下面问题：
①当a=-3，b=2时，求P（E），P（F）取值？
②设a，b，x均为整数时，写出a与b的三组值，使P（E）=
2
3
，P（F）=
1
3
．
已知二次函数f（t）=at2-+（t∈R）有最大值且最大值为正实数，集合A=，集合B=．
（1）求A和B；
（2）定义A与B的差集：A-B=且x∉B．且x∈A．P（E）为x取自A-B的概率．P（F）为x取自A/B的概率．解答下面问题：
①当a=-3，b=2时，求P（E），P（F）取值？
②设a，b，x均为整数时，写出a与b的三组值，使P（E）=，P（F）=．

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