Question

在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5．
（Ⅰ）证明：SC⊥BC；
（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积V_S-ABC．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC．
又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC．
由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，
由三垂线定理，得SC⊥BC．
（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC
∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△SCB中，BC=5，SB=5．
得SC==10
在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=
∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°．
（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，
∵SA=．
S_△ABC=•AC•BC=×5×5=．
∴V_S-ABC=•S_△ACB•SA=．
分析：（Ⅰ）利用SA⊥平面ABC，根据三垂线定理，可得SC⊥BC．
（Ⅱ）由于BC⊥AC，SC⊥BC，可知∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角．在Rt△SCB中，求得SC=10，在Rt△SAC中，可求侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小．
（Ⅲ）先计算S_△ABC，再求V_S-ABC=•S_△ACB•SA．
点评：本题以三棱锥为载体，考查线线垂直，考查线面角，考查几何体的体积，关键是作出二面角的平面角．