题目内容
已知函数f(x)＝－
x3＋
x2－2x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求实数a的取值范围；
(3)若过点
可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．
(1) 单调递增区间为
，单调递减区间为
和
；(2) 
；(3) 
【解析】
试题分析：(1)求导，令导数大于0得增区间令导数小于0得减区间。(2) 对于任意
都有
成立，转化为对于任意
都有
。求
时可根据求导求单调性求最值，也可直接根据二次函数问题求其单调区间再求其最值。(3)先在曲线上任取一点，根据导数的几何意义求其过此点的切线的斜率，再用点斜式求切线方程。将
代入直线方程。分析可知此方程应有3个不同的解。将上式命名新函数，用单调性求此函数的极值点可知一个极值应大于0，另一个极值应小于0.
试题解析：(1)当
时，函数
，
得
． 1分
所以当
时，
，函数f(x)单调递增； 2分
当x＜1或x＞2时，
，函数f(x)单调递减． 3分
所以函数
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ．4分
(2)由
，得
， 5分
因为对于任意
都有
成立，
所以问题转化为对于任意
都有
． 6分
因为
，其图象开口向下，对称轴为
.
①当
，即
时，
在
上单调递减，
所以
，
由
，得
，此时
. 7分
②当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
由
，得
，此时
. 8分
综上可得，实数
的取值范围为 ． 9分
(3)设点
是函数
图象上的切点，
则过点
的切线的斜率
， 10分
所以过点P的切线方程为
， 11分
因为点在该切线上，
所以
，
即
.
若过点可作函数
图象的三条不同切线，
则方程有三个不同的实数解． 12分
令
，则函数
的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点．
令
，解得
或
.
因为
，
， 13分
所以必须
，即
.
所以实数
的取值范围为 ． 14分
考点：1导数及导数的几何意义；2用导数分析函数的单调性；3用单调性求极值、最值。
