Question

已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连结DE.

（1）如图，求证：DE是⊙O的切线；

（2）连结OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值.

Answer 1

思路解析：抓住各角度之间的联系进行转化.

（1）证明：连结OD、DB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°.

∴∠CDB=90°.

∵E为BC边上的中点，

∴CE=EB=DE.

∴∠1=∠2.

∵OB=OD，∴∠3=∠4.

∴∠1+∠4=∠2+∠3.

∵在Rt△ABC中，∠ABC=∠2+∠3=90°，∴∠EDO=∠1+∠4=90°.

∵D为⊙O上的点，

∴DE是⊙O的切线.

（2）解：∠CAB=45°，sin∠CAE=.