题目内容
（2011•温州二模）已知不共线的两个向量
，
，|
|=|
|=3，若
=λ
+(1-λ)
（0＜λ＜1），且|
|=
，则|
|的最小值为
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
| 3 |
| AB |
2
| 6 |
2
．| 6 |
分析：通过
=
-
，求出|
|2，|
|最小时
•
最大．利用3=|
|2，通过基本不等式求出
•
的最大值，然后求出|AB|的最小值是2
．
| AB |
| OB |
| OA |
| AB |
| AB |
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| 6 |
解答：解：
=
-
，
|
|2=（
-
）•（
-
）
=|
|2+|
|2-2（
•
）
=18-2（
•
），
|
|最小时
•
最大．
3=|
|2=[λ
+（1-λ）
]•[λ
+（1-λ）
]
=9λ2+9（1-λ）2+2λ（1-λ）（
•
），
所以
•
=
=9+
=9+
；
因为λ（1-λ）≤(
)2=
，所以λ（1-λ）的最大值是
，
所以
•
≤9-
=-3．
所以
•
的最大值是-3，
|
|2=18-2（
•
）≥18+6=24，
所以|AB|的最小值是2
．
故答案为：2
．
| AB |
| OB |
| OA |
|
| AB |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
=|
| OB |
| OA |
| OA |
| OB |
=18-2（
| OA |
| OB |
|
| AB |
| OA |
| OB |
3=|
| OC |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
=9λ2+9（1-λ）2+2λ（1-λ）（
| OA |
| OB |
所以
| OA |
| OB |
| 9λ2-9λ +3 |
| λ2-λ |
| 3 |
| λ2-λ |
| 3 |
| λ(λ-1) |
因为λ（1-λ）≤(
| λ+1-λ |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
所以
| OA |
| OB |
| 3 | ||
|
所以
| OA |
| OB |
|
| AB |
| OA |
| OB |
所以|AB|的最小值是2
| 6 |
故答案为：2
| 6 |
点评：本题考查向量的基本运算，向量模的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．
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