Question

（2012•湖北）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a_n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b_n}，可以推测：
（Ⅰ）b₂₀₁₂是数列{a_n}中的第

5030

项；
（Ⅱ）b_2k-1=

5k(5k-1)

2

．（用k表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件及图可得出a_n+1=a_n+（n+1），由此递推式可以得出数列{a_n}的通项为，a_n=

1

2

n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b₂₀₁₂在数列{a_n}中的位置；
（II）由（I）中的结论即可得出b_2k-1═

1

2

（5k-1）（5k-1+1）=

5k(5k-1)

2

．

解答：解：（I）由题设条件可以归纳出a_n+1=a_n+（n+1），故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+…+2+1=

1

2

n（n+1）
由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，
由于b₂₀₁₂是第2012个可被5整除的数，故它出现在数列{a_n}按五个一段分组的第1006组的最后一个数，由此知，b₂₀₁₂是数列{a_n}中的第1006×5=5030个数
故答案为5030
（II）由于2k-1是奇数，由（I）知，第2k-1个被5整除的数出现在第k组倒数第二个，故它是数列{a_n}中的第k×5-1=5k-1项，所以b_2k-1═

1

2

（5k-1）（5k-1+1）=

5k(5k-1)

2

故答案为

5k(5k-1)

2

点评：本题考查数列的递推关系，数列的表示及归纳推理，解题的关键是由题设得出相邻两个三角形数的递推关系，由此列举出三角形数，得出结论“被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除”，本题综合性强，有一定的探究性，是高考的重点题型，解答时要注意总结其中的规律．