Question

19．设M是焦距为2的椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，A，B是其左右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上点N（x₀，y₀）处切线方程为$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1，若与与椭圆E相切与（x₁，y₁），D（x₂，y₂）两点的切线相交于P点，且$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=0，求证点P到原点距离为定值．

Answer 1

分析 （1）设A（-a，0），B（a，0），M（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，注意整体代入，解方程即可求得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设切点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），运用椭圆上一点的切线方程，得到PC，PD的方程，求得交点P的坐标，再由$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=0，则PC⊥PD，运用直线的斜率公式，化简整理，由两点的距离公式，注意C，D在椭圆上，满足椭圆方程，运用整体代入，化简计算即可得到定值．

解答 （1）解：设A（-a，0），B（a，0），M（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即n²=b²•$\frac{{a}^{2}-{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
由k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，即$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=-$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
即为a²=2b²，又c²=a²-b²=1，
解得a²=2，b²=1．
即有椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）证明：设切点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则两切线方程PC，PD分别为：$\frac{{x}_{1}x}{2}$+y₁y=1，$\frac{{x}_{2}x}{2}$+y₂y=1，
解得P（$\frac{2（{y}_{2}-{y}_{1}）}{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}$，$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}$），
由$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=0，则PC⊥PD，
即有k_PC=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}{x}_{1}-{x}_{2}{{y}_{1}}^{2}-{x}_{1}+{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}{y}_{2}-{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}-2{y}_{2}+2{y}_{1}}$，
由于x₁²+2y₁²=2，即有x₁²-2=-2y₁²，1-y₁²=$\frac{1}{2}$x₁²，
代入上式，可得k_PC=$\frac{-{x}_{1}}{2{y}_{1}}$，
同理可得k_PD=$\frac{-{x}_{2}}{2{y}_{2}}$，
即有k_PC•k_PD=-1，即为x₁x₂=-4y₁y₂，
又x₁²=2-2y₁²，x₂²=2-2y₂²，
即有|PO|²=$\frac{4（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}+（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}{（{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}）^{2}}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+2}{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}$，
又（x₁x₂）²=16（y₁y₂）²，
即有（2-2y₁²）（2-2y₂²）=16（y₁y₂）²，
即（1-y₁²）（1-y₂²）=4（y₁y₂）²，
即y₁²y₂²=$\frac{1}{3}$（1-y₁²-y₂²），
则|PO|²=$\frac{{{3（y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+2）}{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+2}$=3，
即|PO|=$\sqrt{3}$，
故P到原点距离为定值$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．