Question

19．已知二次函数f（x）=ax²+bx （a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设k＞0，函数g（x）=kx+1，x∈[-2，1]，若对于任意x₁∈[-2，1]，总存在x₀∈[-2，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求k的取值范围．
（3）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中f （1+x）=f （1-x），可得f（x）的图象关于直线x=1对称，结合方程f （x）=x有等根其△=0，我们可构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）对于任意x₁∈[-2，1]，总存在x₀∈[-2，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函数f（x）在[-2，1]上值域是g（x）在[-2，1]上值域A的子集，然后利用求函数值域之间的关系列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围即可．
（3）由（1）中函数的解析式，我们根据f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，我们易判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．

解答 解：（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$，∴-$\frac{b}{2a}$=1．①
又f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）²=0．②
由①，②得 b=1，a=-$\frac{1}{2}$．∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．
（2）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x，x∈[-2，1]，∴函数f（x）的值域为[-4，$\frac{1}{2}$]，
若对于任意x₁∈[-2，1]，总存在x₀∈[-2，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
则函数f（x）在[-2，1]上值域是g（x）在[-2，1]上值域A的子集，
①若k=0，g（x）=1，不满足条件．
②当k＞0时，g（x）=kx+1在[-2，1]是增函数，g（x）∈[-2k+1，k+1]，
则[-4，$\frac{1}{2}$]⊆[-2k+1，k+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+1≤-4}\\{k+1≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴k≥$\frac{5}{2}$；
③k＜0，g（x）=kx+1在[-2，1]是减函数，g（x）∈[k+1，-2k+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+1≤-4}\\{-2k+1≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴k≤-5
综上，实数a的取值范围是k≥$\frac{5}{2}$或k≤-5．
（3）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$．
如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤$\frac{1}{2}$，∴n≤$\frac{1}{6}$．
从而m＜n≤$\frac{1}{6}$＜1，而x≤1，f（x）单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=-\frac{1}{2}{m}^{2}+m=3m}\\{f（n）=-\frac{1}{2}{n}^{2}+n=3n}\end{array}\right.$，
可解得m=-4，n=0满足要求．
∴存在m=-4，n=0满足要求．

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，其中（1）的关键是由已知条件构造关于a，b的方程组，（2）的关键是转化为函数f（x）在[-2，1]上值域是g（x）在[-2，1]上值域A的子集；（3）的关键是根据函数的值域判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程．