题目内容

设实数a≠0，函数f（x）=a（x²+1）-（2x+ $数学公式$ ）有最小值-1．
（1）求a的值；
（2）设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），令b_n= $数学公式$ ，证明：数列{b_n}是等差数列．

（1）解：∵f（x）=a（x- $\text{[math]}$ ）²+a- $\text{[math]}$ ，由已知知f（ $\text{[math]}$ ）=a- $\text{[math]}$ =-1，且a＞0，解得a=1，a=-2（舍去）．
（2）证明：由（1）得f（x）=x²-2x，
∴S_n=n²-2n，a₁=S₁=-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-2n-（n-1）²+2（n-1）=2n-3，a₁满足上式即a_n=2n-3．
∵a_n+1-a_n=2（n+1）-3-2n+3=2，
∴数列{a_n}是首项为-1，公差为2的等差数列．
∴a₂+a₄+…+a_2n= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =n（2n-1），
即b_n= $\text{[math]}$ =2n-1．
∴b_n+1-b_n=2（n+1）-1-2n+1=2．
又b₂= $\text{[math]}$ =1，
∴{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
分析：由f（x）=a（x- $\text{[math]}$ ）²+a- $\text{[math]}$ 有最小值-1可得，f（ $\text{[math]}$ ）=a- $\text{[math]}$ =-1，且a＞0，解方程可求
（2）由S_n=n²-2n可求a₁=S₁=-1．
当n≥2时，利用递推公式a_n=S_n-S_n-1=可求a_n，代入计算a₂+a₄+…+a_2n=n（2n-1）从而可得，b_n= $\text{[math]}$ =2n-1．
要证数列{b_n}是等差数列?b_n+1-b_n=d即可
点评：（1）考查了在数列中利用二次函数求解最值属于数列与函数简单综合（2）考查了利用递推公式由S_n求a_n，要注意对n=1时的项是否适合通项的检验，还考查了利用定义证明等差数列．