Question

下列四个命题：
①任意x∈（0，+∞），使得(

1

2

)x＞(

1

3

)x；
②存在x∈（0，1），使得log

1

2

x＜log

1

3

x；
③任意x∈(0，

1

3

)，使得(

1

2

)x＜log

1

3

x；
④存在x∈（0，+∞），使得x

1

2

＞x

1

3

其中真命题的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：①由幂函数的性质进行判断；②由对数函数的性质进行判断；③由指数函数和对数函数的性质进行判断；④举实例进行判断．

解答：解：①∵x∈（0，+∞），∴由幂函数的性质，得(

1

2

)x＞(

1

3

)x，故①是真命题；
②∵x∈（0，1），∴由对数函数的性质，得log

1

2

x＞log

1

3

x，故②是假命题；
③∵x∈(0，

1

3

)，∴（

1

2

）^x＜1，log

1

3

x＞1，
∴(

1

2

)x＜log

1

3

x，故③是真命题；
④∵8

1

2

＞8

1

3

，
∴存在x∈（0，+∞），使得x

1

2

＞x

1

3

，故④是真命题．
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意幂函数、指数函数、对数函数的性质进行判断．