题目内容

有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．
（1）当腰长为1，等腰梯形周长；
（2）设等腰梯形ABCD周长为y，求y的最大值．

解：（1）①代数方法：∵∠ACB=90°　CE⊥AB

∴BC²=BE•AB
BE= $\text{[math]}$
CD=4-2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴周长=4+2+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
②设∠AOD=θ（多种设法）

cosθ= $\text{[math]}$
CD²=2²+2²-2×2×2cos（π-2θ）
=8+8cos²θ=16cos²θ
∴周长=4+2+CD=6+4cosθ= $\text{[math]}$
∴等腰梯形ABCD周长为 $\text{[math]}$ （6分）
（2）设腰长为x，则BE= $\text{[math]}$

CD=4-2× $\text{[math]}$ =4- $\text{[math]}$ y=4+2x+4- $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$ +2x+8（0＜x＜2 $\text{[math]}$ ）
∴x=2时，y_max=10
∴当等腰梯形的腰长为2时，
周长最大，最大值为10．（12分）
分析：（1）①代数方法：由摄影定理可得BC²=BE•AB结合已知可得BE= $\text{[math]}$ ，CD=4-2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而可求

②设∠AOD=θ（多种设法）则cosθ= $\text{[math]}$
利用余弦定理可得CD²=2²+2²-2×2×2cos（π-2θ）=8+8cos²θ=16cos²θ，从而可得周长=4+2+CD=6+4cosθ= $\text{[math]}$

（2）设腰长为x，则BE= $\text{[math]}$
则有CD=4-2× $\text{[math]}$ =4- $\text{[math]}$ y=4+2x+4- $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$ +2x+8（0＜x＜2 $\text{[math]}$ ），利用二次函数的知识可求．
点评：（1）①摄影定理的应用是解决此题的关键②主要利用的把实际问题转化为利用三角函数的知识解决
（2）二次函数在解决实际问题中求解最值的常用的方法