Question

已知F（-2，0），以F为圆心的圆，半径为r，点A（2，0）是一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线FP相交于点Q．在下列条件下，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
（1）r=1时，点P在圆上运动；
（2）r=9时，点P在圆上运动．

Answer 1

分析：（1）由题意得QA=QP，则|QA-QF|=|QP-QF|=FP=r=1，即动点Q到两定点F、A的距离差的绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：以F，A为焦点，FA为焦距长的双曲线．
（2）由题意QA=QP，FP=FQ+QP=r=9，所以FQ+QA=9．故曲线是以A、F为焦点，长轴长为9的椭圆，由此能求出曲线的方程．

解答：解：（1）当r=1时，
∵A为⊙F外一定点，P为⊙F上一动点
线段AP的垂直平分线交直线FP于点Q，
则QA=QP，则|QA-QF|=|QP-QF|=FP=r=1，
即动点Q到两定点F、A的距离差的绝对值为定值，
根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：以F，A为焦点，FA为焦距长的双曲线，
故2a=1，2c=4，⇒a=

1

2

，c=2，b=

15

2

．
故方程为：4x2-

4y2

15

=1(x＞0)，是双曲线；
（2）当r=9时，
由题意：QA=QP，FP=FQ+QP=r=9，
所以FQ+QA=9．
故曲线是以A、F为焦点，长轴长为9的椭圆，
其2a=9，2c=4，⇒a=

9

2

，c=2，b=

65

2

，
方程为：

4x2

81

+

4y2

65

=1，是椭圆．

点评：本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．熟练掌握双曲线、椭圆的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．属于中档题．