题目内容
【题目】已知抛物线,斜率为
的直线
交抛物线
于
,
两点,当直线
过点
时,以
为直径的圆与直线
相切.
(1)求抛物线的方程;
(2)与平行的直线
交抛物线于
,
两点,若平行线
,
之间的距离为
,且
的面积是
面积的
倍,求
和
的方程.
【答案】(1);(2)
,
或者
,
.
【解析】
(1)设直线方程为
,代入
得
,根据中点坐标公式,结合韦达定理可得圆心坐标,利用弦长公式可得圆的直径,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程求解即可得到抛物线
的方程;(2)利用点到直线距离公式、弦长公式,结合三角形面积公式可得
,同理可得
,利用
的面积是
面积的
倍列方程求解即可.
(1)设AB直线方程为代入
得
设
∴
当时,
,AB的中点为
依题意可知,解之得
抛物线方程为.
(2)O到直线的距离为
,
.
因为平行线之间的距离为
,则CD的直线方程为
.
依题意可知,即
化简得,∴
代入
∴或者
.
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