题目内容
下列有关命题的说法：①命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；
②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件；
③已知命题p：对任意的x∈R，ax2+2x+1≥0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是[0，1）；
④“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充分不必要条件．
其中正确的有 ．
【答案】分析：①根据同角的三角函数相等，判断原命题“若x=y，则sinx=siny”的真假，从而得出其逆否命题的真假；
②根据两条线垂直的充要条件求出a，进行判断真假；
③若对任意的x∈R，ax2+2x+1≥0为假命题，则存在x∈R，ax2+2x+1＜0为真，此时分a＜0，a=0，a＞0三种情况讨论，求出实数a的取值范围可判断③的真假；
④k=-1，函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期也为π，可判定④的真假；
解答：解：∵当x=y时，sinx=siny一定成立
∴原命题是真命题，
∴原命题的逆否命题为真命题，故①正确；
若直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直，
根据两条线垂直的充要条件3a+2（a-1）=0，得到a=
，
故“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件为假命题，故②错误；
已知命题p：命题p：对任意的x∈R，ax2+2x+1≥0．
若命题p是假命题，
则其否定存在x∈R，ax2+2x+1＜0为真命题，
a＜0时，函数y=ax2+2x+1开口朝下，满足条件
a=0时，函数y=2x+1是一条直线，满足条件
a＞0时，函数y=ax2+2x+1开口朝上，当△=4-4a＞0，即a∈（0，1）时满足条件
综上实数a的取值范围是（-∞，1），故③错误；
当k=1时，函数y=cos2（x）-sin2（x）=cos2x，最小正周期为π，
但函数y=cos2kx-sin2kx的
最小正周期为π时，k=±1，
故“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充分不必要条件，即④正确；
故答案为：①④
点评：本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的定义，线面垂直的充要条件，函数恒成立问题，及三角函数的周期性，难度中档
②根据两条线垂直的充要条件求出a，进行判断真假；
③若对任意的x∈R，ax2+2x+1≥0为假命题，则存在x∈R，ax2+2x+1＜0为真，此时分a＜0，a=0，a＞0三种情况讨论，求出实数a的取值范围可判断③的真假；
④k=-1，函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期也为π，可判定④的真假；
解答：解：∵当x=y时，sinx=siny一定成立
∴原命题是真命题，
∴原命题的逆否命题为真命题，故①正确；
若直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直，
根据两条线垂直的充要条件3a+2（a-1）=0，得到a=
，故“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件为假命题，故②错误；
已知命题p：命题p：对任意的x∈R，ax2+2x+1≥0．
若命题p是假命题，
则其否定存在x∈R，ax2+2x+1＜0为真命题，
a＜0时，函数y=ax2+2x+1开口朝下，满足条件
a=0时，函数y=2x+1是一条直线，满足条件
a＞0时，函数y=ax2+2x+1开口朝上，当△=4-4a＞0，即a∈（0，1）时满足条件
综上实数a的取值范围是（-∞，1），故③错误；
当k=1时，函数y=cos2（x）-sin2（x）=cos2x，最小正周期为π，
但函数y=cos2kx-sin2kx的
最小正周期为π时，k=±1，
故“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充分不必要条件，即④正确；
故答案为：①④
点评：本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的定义，线面垂直的充要条件，函数恒成立问题，及三角函数的周期性，难度中档
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