Question

已知f（x）=2+log₃x，求函数y=[f（x）]²+f（x²），x∈[

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，9]的最大值与最小值．

Answer 1

分析：将f（x）=2+log₃x代入y=[f（x）]²+f（x²）中，整理化简为关于log₃x的函数，通过x∈[

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，9]，利用换元法求最值．

解答：解：∵f（x）=2+log₃x
∴y=log₃²x+6log₃x+6
又∵

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≤x≤9，且

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≤x²≤9，
解可得

1

9

≤x≤3，
则有-1≤log₃x≤1
若令log₃x=t，则问题转化为求函数
g（t）=t²+6t+6，-2≤t≤1的最值．
∵g（t）=t²+6t+6=（t+3）²-3
∴当-2≤t≤1
∴g（t）_max=g（1）=13，g（t）_min=g（1）=-2
所以所求函数的最大值是13，最小值是-2．

点评：此题是个中档题．本题考查换元法求函数的值域问题，以及对数函数的单调性与特点，在使用换元法时，注意范围．