题目内容
已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N．（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
（2）探索
| AM |
| AN |
分析：（1）由直线直线m方程得km=-
，从而得到m的垂线l的斜率kl=3．利用直线方程的点斜式可得l的方程为y=3（x+1），而圆心C（0，3）适合直线l的方程，由此可得当l⊥m时，l必过圆心C．
（2）根据CM⊥MN，结合向量数量积的运算性质得
•
=
•
．然后分l⊥x轴时和l与x轴不垂直两种情况加以讨论，分别求出向量
、
的坐标，计算
•
并化简可得
•
=
•
=-5，即
•
的值与直线l的倾斜角无关．
| 1 |
| 3 |
（2）根据CM⊥MN，结合向量数量积的运算性质得
| AM |
| AN |
| AC |
| AN |
| AC |
| AN |
| AC |
| AN |
| AM |
| AN |
| AC |
| AN |
| AM |
| AN |
解答：
解：（1）∵直线m方程为x+3y+6=0，∴直线m的斜率km=-
又∵l⊥m，且km=-
，∴直线l的斜率kl=3．
故直线l的方程为y=3（x+1），即3x-y+3=0（5分）
∵圆心C坐标（0，3）满足直线l的方程，
∴当l⊥m时，l必过圆心C．（7分）
（2）∵CM⊥MN，可得
•
=0
∴
•
=(
+
)•
=
•
（9分）
①当l⊥x轴时，易得N(-1，-
)，则
=(0，-
)（10分）
又∵
=(1，3)，∴
•
=
•
=-5（12分）
②当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），则
由
，解出N(
，
)，可得
=(
，
)（14分）
∴
•
=
•
=
+
=-5．
综上所述，得
•
=-5，即
•
与直线l的倾斜角无关．（16分）
解：（1）∵直线m方程为x+3y+6=0，∴直线m的斜率km=-| 1 |
| 3 |
又∵l⊥m，且km=-
| 1 |
| 3 |
故直线l的方程为y=3（x+1），即3x-y+3=0（5分）
∵圆心C坐标（0，3）满足直线l的方程，
∴当l⊥m时，l必过圆心C．（7分）
（2）∵CM⊥MN，可得
| CM |
| AN |
∴
| AM |
| AN |
| AC |
| CM |
| AN |
| AC |
| AN |
①当l⊥x轴时，易得N(-1，-
| 5 |
| 3 |
| AN |
| 5 |
| 3 |
又∵
| AC |
| AM |
| AN |
| AC |
| AN |
②当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），则
由
|
| -3k-6 |
| 1+3k |
| -5k |
| 1+3k |
| AN |
| -5 |
| 1+3k |
| -5k |
| 1+3k |
∴
| AM |
| AN |
| AC |
| AN |
| -5 |
| 1+3k |
| -15k |
| 1+3k |
综上所述，得
| AM |
| AN |
| AM |
| AN |
点评：本题在坐标系中讨论直线与圆的位置关系，并求向量数量积
•
．着重考查了平面向量数量积的运算公式、直线的基本量与基本形式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
| AM |
| AN |
练习册系列答案
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已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N，则下面运算结果为定值的有（ ）
与圆C：
相交于P、Q两点，M是PQ的中点，
与直线m：
相交于N。
时，求直线
的方程；
是否与直线
的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。
已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
时，求直线l的方程；
是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．