题目内容

（2012•自贡三模）某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会，拟邀请50名使用不同版本的一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版
人数 20 15 10 5
（I）从这50名教师中随机选出2名教师发言，求第一位发言的教师所使用版本是北大师大版的概率；
（II ）设使用北师大版的5名教师中有3名男教师，2名女教师，若随机选出2名用北师大版的教师发言，求抽到男教师个数的分布列和期望．
分析：（Ⅰ）只考虑首位发言教师的情况：共有50种，符合题意的有5种，由此能求出第一位发言的教师所使用版本是北大师大版的概率．
（Ⅱ）设抽到男教师个数ξ，则ξ可取0、1、2，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）的值，由此能求出抽到男教师个数的分布列和期望．
解答：解：（Ⅰ）只考虑首位发言教师的情况：共有50种，符合题意的有5种，
∴所求的概率为P2=
5
50
=
1
10
．
（Ⅱ）设抽到男教师个数ξ，则ξ可取0、1、2，
P（ξ=0）=
C
2
2
C
2
5
=
1
10
，
P（ξ=1）=
C
1
3
C
2
2
C
2
5
=
6
10
，
P（ξ=2）=
C
2
3
C
2
5
=
3
10
，
∴抽到男教师个数ξ的分布列：
ξ   0  1  2
 P  
1
10
  
6
10
  
3
10
Eξ=0×
1
10
+1×
6
10
+2×
3
10
=
6
5
．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．
练习册系列答案
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①任意三次函数都关于点（-
b
3a
，f（-
b
3a
））对称：
②存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
，则，g（
1
2012
）+g（
2
2012
）+g（
3
2012
）+…+g（
2011
2012
）=-105.5．
其中正确命题的序号为
①②④
①②④
（把所有正确命题的序号都填上）．
（2012•自贡三模）已知G是△ABC的重心，且a
GA
+b
GB
+
3
c
GC
=
0
，其中a，b，c分别为角A、B、C的对边，则cosc=（　　）
（2012•自贡三模）在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为
2
2
，
3
2
，
6
2
，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为
6
π
6
π
．
（2012•自贡三模）已知圆C：（x-a）2+（y-2）2=4（a＞0）及直线l：x-y+3=0，当直线l被C截得弦长为2
3
时，则a=
2
-1
2
-1
．
（2012•自贡三模）若(x2+
1
ax
)6的展开式中的常数项为
15
16
，则实数a
±2
±2
．

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