题目内容
15．已知数列{an}满足a1=1，an=a1+$\frac{1}{2}$a2+$\frac{1}{3}$a3+…$\frac{1}{n-1}$an-1（n≥2）．求数列{an}的通项公式．
分析 通过an=a1+$\frac{1}{2}$a2+$\frac{1}{3}$a3+…$\frac{1}{n-1}$an-1与an+1=a1+$\frac{1}{2}$a2+$\frac{1}{3}$a3+…$\frac{1}{n-1}$an-1+$\frac{1}{n}$an作差、整理可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，从而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$、$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$、…、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，利用累乘法计算即得结论．
解答 解：∵an=a1+$\frac{1}{2}$a2+$\frac{1}{3}$a3+…$\frac{1}{n-1}$an-1，
∴an+1=a1+$\frac{1}{2}$a2+$\frac{1}{3}$a3+…$\frac{1}{n-1}$an-1+$\frac{1}{n}$an，
两式相减得：an+1-an=$\frac{1}{n}$an，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=n，
∴an=na1=n．
点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
优生乐园系列答案| A． | aman=qm+n（m，n∈N*，q≠0） | B． | $\frac{{a}_{1}}{{a}_{n-1}}$=q（n≥2且n∈N*） | ||
| C． | an+1=an•q（n∈N*） | D． | an+1=3Sn（n∈N*） |