题目内容

(本小题16分)

已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,焦点在直线上,直线与抛物线相交于两点,为抛物线上一动点(不同于),直线分别交该抛物线的准线于点

(1)求抛物线方程;

(2)求证:以为直径的圆经过焦点,且当为抛物线的顶点时,圆与直线相切。

 

【答案】

(1)

(2)证明见解析

【解析】(1)依题意,焦点,抛物线方程为。……………4分

(2)由

 ∴。            ……………………6分

,则

直线,令

,即, ……………………8分

同理,直线,令,得

,……………………10分

,∴

∴以为直径的圆经过焦点。  ……………………13分

为抛物线的顶点时,,可得中点,即圆心

,∴,即

∴圆与直线相切。

 

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