Question

（附加题）已知函数f（x）=x²-2kx+k+1．
（Ⅰ）若函数在区间[1，2]上有最小值-5，求k的值．
（Ⅱ）若同时满足下列条件①函数f（x）在区间D上单调；②存在区间[a，b]⊆D使得f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]；则称f（x）为区间D上的闭函数，试判断函数f（x）=x²-2kx+k+1是否为区间[k，+∞）上的闭函数？若是求出实数k的取值范围，不是说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） f（x）=x²-2kx+k+1=（x-k）²-k²+k+1，对称轴x=k．分k＜1、1≤k≤2、k＞2三种情况，分别求出k的值，即得所求．
（Ⅱ）f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上单调递增，由于f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则有

a2-2ka+k+1=a b2-2kb+k+1=b

，即方程x²-2kx+k+1=x在[k，+∞）有两不同实数根，
解不等式组

(2k+1)2-4(k+1)＞0 2k+1 2 ＞k k2-k(2k+1)+k+1＞0

，求得实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ） f（x）=x²-2kx+k+1=（x-k）²-k²+k+1，对称轴x=k．
①当k＜1时，f_min（x）=f（1）=1-2k+k+1=-5，解得k=7，（舍去）
②当1≤k≤2时，fmin(x)=f(k)=-k2+k+1=-5，解得k=-2或3，（舍去）
③当k＞2时，f_min（x）=f（2）=4-4k+k+1=-5，解得k=

10

3

．
综合①②③可得k=

10

3

．-------（4分）
（Ⅱ）当k∈(-1，-

3

2

)∪(

3

2

，1)时，函数f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上是闭函数．--------（6分）
∵函数开口向上且对称轴为x=k，∴f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上单调递增．
设存在区间[a，b]⊆[k，+∞）使得f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，
则有

a2-2ka+k+1=a b2-2kb+k+1=b

，即方程x²-2kx+k+1=x在[k，+∞）有两不同实数根．---------（8分）
∴

(2k+1)2-4(k+1)＞0 2k+1 2 ＞k k2-k(2k+1)+k+1＞0

，解得-1＜k＜-

3

2

或

3

2

＜k＜1，
∴k的取值范围为(-1，-

3

2

)∪(

3

2

，1)-----（10分）

点评：本题主要考查二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想，属于中档题．