Question

18．已知点G是圆F：（x+2）²+y²=4上任意一点，R（2，0），线段GR的垂直平分线交直线GF于H．
（1）求点H的轨迹C的方程；
（2）点M（1，0），P、Q是轨迹C上的两点，直线PQ过圆心F（-2，0），且F在线段PQ之间，求△PQM面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的定义，点H的轨迹是中心在原点，以F、R为焦点，2a=2的双曲线，即可求点H的轨迹C的方程；
（2）分类讨论，直线方程代入双曲线方程，求出面积，即可得出结论．

解答 解：（1）圆C的圆心为F（-2，0），半径r=2，|FR|=4．
连结HR，由已知得|HR|=|HG|，
∵||HF|-|HR||=||HF|-|HG||=|FG|=r=2＜|FR|．
根据双曲线的定义，点H的轨迹是中心在原点，以F、R为焦点，2a=2的双曲线，
即a=1，c=2，b²=3，
∴点H的轨迹C的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1…（5分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
若PQ⊥x轴，则直线PQ：x=-2，代入C的方程，可得y₁=3，y₂=-3，
S_△PQM=S_△PFM+S_△QFM=$\frac{1}{2}×6×3$=9…（7分）
若PQ不垂直于x轴，设直线PQ：y=k（x+2）
∵F在P、Q两点之间，∴P、Q在双曲线的左支上，且y₁y₂＜0
双曲线的渐近线为y=±$\sqrt{3}$x，|k|＞$\sqrt{3}$，
y=k（x+2）与双曲线方程联立，可得（3-k²）y²-12ky+9k²=0，
∴y₁y₂=$\frac{9{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{12k}{3-{k}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|=6$\sqrt{1+\frac{7}{{k}^{2}-3}+\frac{12}{（{k}^{2}-3）^{2}}}$＞6，
∴S_△PQM=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂||FM|=$\frac{3}{2}$|y₁-y₂|＞9，
综上，△PQM面积的最小值为9．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，解题时要认真审题．