Question

设直线x+2y+4=0和圆x²+y²-2x-15=0相交于点A，B．
（1）求弦AB的垂直平分线方程；
（2）求弦AB的长．

Answer 1

分析：（1）求出圆的圆心为C（1，0），半径r=4．根据垂径定理，弦AB的垂直平分线经过圆心C，由此加以计算即可得出AB的垂直平分线方程；
（2）利用点到直线的距离公式，算出圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离，再根据垂径定理加以计算，可得弦AB的长．

解答：解：（1）∵圆x²+y²-2x-15=0化成标准方程得（x-1）²+y²=16，
∴圆心为C（1，0），半径r=4．
∵直线x+2y+4=0和圆x²+y²-2x-15=0相交于点A、B，
∴设弦AB的垂直平分线为l：2x-y+m=0，
由垂径定理，可知点C（1，0）在l上，得2×1-0+m=0，解之得m=-2．
因此，弦AB的垂直平分线方程为2x-y-2=0；
（2）圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离为：
d=

|1+2×0+4|

12+22

=

5

．
根据垂径定理，得|AB|=2

r2-d2

=2

11

，即弦AB的长等于2

11

．

点评：本题给出直线与圆相交，求弦的中垂线方程并求弦的长度．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．