Question

设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．
（Ⅰ）已知函数f（x）=x-2sinx．求证：y=x+2为曲线f（x）的“上夹线”．
（Ⅱ）观察下图：

根据上图，试推测曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并给出证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f'（x）=1-2cosx=1得cosx=0，从而找出直线l与曲线S的两个切点，从而说明直线l与曲线S相切且至少有两个切点，然后根据对任意x∈R，g（x）-F（x）≥0，满足“上夹线”的定义，从而得到结论；
（Ⅱ）推测：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y=mx+n，然后①先检验直线y=mx+n与曲线y=mx-nsinx相切，且至少有两个切点，②检验g（x）≥F（x）是否成立，从而得到结论．

解答：解（Ⅰ）由f'（x）=1-2cosx=1得cosx=0，（1分）
当x=-

π

2

时，cosx=0，
此时y1=x+2=-

π

2

+2，y2=x-2sinx=-

π

2

+2，（2分）
y₁=y₂，所以（-

π

2

，-

π

2

+2）是直线l与曲线S的一个切点；（3分）
当x=

3π

2

时，cosx=0，
此时y1=x+2=

3π

2

+2，y2=x-2sinx=

3π

2

+2，（4分）
y₁=y₂，所以（

3π

2

，

3π

2

+2）是直线l与曲线S的一个切点；（5分）
所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
对任意x∈R，g（x）-F（x）=（x+2）-（x-2sinx）=2+2sinx≥0，
所以g（x）≥F（x）（6分）
因此直线l：y=x+2是曲线S：y=ax+bsinx的“上夹线”．（7分）
（Ⅱ）推测：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y=mx+n（9分）
①先检验直线y=mx+n与曲线y=mx-nsinx相切，且至少有两个切点：设：F（x）=mx-nsinx
∵F'（x）=m-ncosx，令F'（x）=m-ncosx=m，得：x=2kπ±

π

2

（k∈Z）（10分）
当x=2kπ-

π

2

时，F（2kπ-

π

2

）=m（2kπ-

π

2

）+n
故：过曲线F（x）=mx-nsinx上的点2kπ-

π

2

，m（2kπ-

π

2

）+n）的切线方程为：
y-[m（2kπ-

π

2

）+n]=m[x-（2kπ-

π

2

）]，化简得：y=mx+n．
即直线y=mx+n与曲线y=F（x）=mx-nsinx相切且有无数个切点．（12分）
不妨设g（x）=mx+n
②下面检验g（x）≥F（x）
∵g（x）-F（x）=n（1+sinx）≥0（n＞0）
∴直线y=mx+n是曲线y=F（x）=mx-nsinx的“上夹线”．（14分）

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究切线等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．