题目内容

(2012•绵阳二模)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+4n(n∈N*),数列{bn}满足b1=1,bn+1=2bn+1
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=
(an-3)•(bn+1)4
,求数列{cn}的前n项和Tn
分析:(1)由Sn=n2+4n,求出a1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1,求出an.利用bn+1=2bn+1,b1=1,判断数列{bn+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,然后求解bn
(2)利用cn=
(an-3)•(bn+1)
4
,求出cn,利用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Tn
解答:解:(1)由Sn=n2+4n,
当n=1时,a1=S1=12+4=5;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3.
∴当n∈N*时,an=2n+3.  (3分)
又bn+1=2bn+1,b1=1,即bn+1+1=2(bn+1),可得
bn+1+1
bn+1
=2

∴数列{bn+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,
∴bn+1=2×2n-1=2n,bn=2n-1.  (6分)
(2)由(1)得cn=
(an-3)•(bn+1)
4
=n•2n-1
Tn=1×20+2×2+3×22+…+n•2n-1,…①.
2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n•2n,…②.
由①-②得-Tn=1+2+22+23+24+…+2n-1-n•2n=
1(1-2n)
1-2
-n•2n
∴Tn=(n-1)•2n+1.    (12分)
点评:本题考查数列求和,数列的判定,递推关系式的应用,考查计算能力,转化思想.
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