题目内容

设二次函数y=f(x) 的图象的顶点坐标为(1,1),且f(-1)=3.
(1)求f(x) 的解析式;
(2)设区间A=[1,m],若x∈A时,恒有f(x)∈A,求m 的取值范围.
分析:(1)已知二次函数的顶点坐标为(1,4),设抛物线的顶点式为y=a(x-1)2+4,将点(-2,-5)代入求a即可.
(2)由(1)知,f(x)=
1
2
(x-1)2+1
 在[1,m]上是单调增函数,利用二次函数的音调性得出m 的取值范围即可.
解答:解:(1)由题意,设f(x)=a(x-1)2+1(a≠0),…(3分)
由(-1)=a(-1-1)2+1=3,解得a=
1
2
,…(6分)
f(x)=
1
2
(x-1)2+1
.    …(7分)
(2)由(1)知,f(x)=
1
2
(x-1)2+1
 在[1,m]上是单调增函数,
∴当x∈A时,f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(m)=
1
2
(m-1)2+1
.…(9分)
若x∈A时,恒有f(x)∈A,则f(m)=
1
2
(m-1)2+1≤m
,…(11分)
∴m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3 …(13分)
又m>1,∴m 的取值范围是(1,3].            …(14分)
点评:本题考查了用顶点式求抛物线解析式的一般方法、二次函数在闭区间上的最值,必须熟练掌握抛物线解析式的几种形式.
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