Question

命题p：方程x²-x+a²-6a=0，有一正根和一负根．命题q：函数y=x²+（a-3）x+1的图象与x轴无公共点．若命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由题意可得p：

△=1-4(a2-6a)＞0 a2-6a＜0

可求p
△=（a-3）²-4=（a-1）（a-5）＜0可求q
由p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可知p，q中一真一假，分类讨论求解

解答：解：由题意可得p：

△=1-4(a2-6a)＞0 a2-6a＜0

∴p：0＜a＜6
q：△=（a-3）²-4=（a-1）（a-5）＜0
∴1＜a＜5
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p，q中一真一假
当p真q假时

0＜a＜6 a≤1或a≥5

即0＜a≤1或5≤a＜6
当p假q真时，

a≤0或a≥6 1＜a＜5

，此时a不存在
故0＜a≤1或5≤a＜6

点评：本题一复合命题的真假关系的应用为载体，主要考查了二次方程的根的存在情况及二次函数的性质的简单应用，属于基础试题