Question

命题p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一负根．命题q：函数y=x²+（a-3）x+1的图象与x轴无公共点．若命题“pⅤq”为真命题，而命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是

（0，1]∪[5，6）

．

Answer 1

分析：先求出命题p和命题q均为真命题时a的范围，再根据命题“p∪q”为真命题，而命题“p∧q”为假命题分情况讨论得出结论．

解答：解：命题p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一负根，则得：
x1•x2=a2-6a＜0，
即：0＜a＜6；
命题q：函数y=x²+（a-3）x+1的图象与x轴无公共点，可得：
△=（a-3）²-4＜0，
∴1＜a＜5；
又∵命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，
∴命题p与命题q一真一假，
当命题p为真且命题q为假时，有：

0＜a＜6 a≤1或a≥5

，
即：a∈（0，1]∪[5，6）；
当命题q真且命题p假时，有：

a≤0或a≥6 1＜a＜5

，
此时a的解集为∅．
综上所述：a∈（0，1]∪[5，6）．
故答案为：a∈（0，1]∪[5，6）．

点评：本题主要考查对复合命题真假的判断，这是常考查的地方，要做到熟练掌握．