Question

（1）已知直线L过点P（2，1），且与两坐标轴正向围成三角形的面积为4，求直线L的方程；
（2）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于0.8，焦距是8，求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析：（1）先设出直线L的截距式方程，利用直线L与两坐标轴正向围成三角形的面积为4以及直线L过点（2，1），就可得到关于横纵截距的两个等式，求出横纵截距，得到直线L的方程．
（2）根据椭圆的焦距是8，求出c值，根据离心率等于0.8求出a的值，再根据a，b，c的关系式求出b的值，再判断焦点所在坐标轴，就可得到椭圆方程．

解答：解：（1）设直线L方程为：

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）
∵直线L过点P（2，1），且与两坐标轴正向围成三角形的面积为4，
∴

2 a + 1 b =1 1 2 ab=4

∴

a=4 b=2

∴所求直线方程为

x

4

+

y

2

=1
（2）由已知，e=

c

a

=

4

5

，2c=8，
得a=5，c=4，
∴b=3，
当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为：

x2

25

+

y2

9

=1，
当椭圆焦点在y轴上时，椭圆方程为

y2

25

+

x2

9

=1
∴椭圆的方程为：

x2

25

+

y2

9

=1或

y2

25

+

x2

9

=1

点评：本题（1）考查了待定系数法求直线方程，因为已知直线与坐标轴所围三角形的面积，所以设直线的截距式计算量较小．（2）考察了椭圆方程的求法，一定要判断焦点位置．