Question

已知点A（a，b） 满足方程x-y-3=0，则由点A向圆C：x²+y²+2x-4y+3=0所作的切线长的最小值是（　　）

• A．2
• B．3
• C．4
• D．

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Answer 1

分析：将圆C化为标准方程，得出圆心为C（-1，2）、半径r=

2

．根据题意知点A是直线x-y-3=0上的动点，由圆的切线的性质可得当A、C的距离最小时，可使切线长最小．由此利用点到直线的距离公式与勾股定理加以计算，可得经过点A作圆C的切线所得切线长的最小值．

解答：解：将圆C：x²+y²+2x-4y+3=0化成标准方程，得（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圆C的圆心为C（-1，2）、半径r=

2

．
∵点A（a，b） 满足方程x-y-3=0，
∴点A是直线x-y-3=0上的动点．
由点A向圆C作切线，设切点为B，则CB⊥AB，
根据勾股定理，可得切线长|AB|=

|CA|2-|CB|2

=

|CA|2-2

，
由此可得当|CA|达到最小时，相应地|AB|有最小值．
∵点C到直线x-y-3=0的距离为d=

|-1-2-3|

2

=3

2

，
∴|CA|的最小值为3

2

，可得|AB|的最小值为

(3 2 )2-2

=4．
即经过点A作圆C的切线，切线长的最小值为4．
故答案为：C

点评：本题着重考查了点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．考查了学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，解题的关键是找出切线长最短时的条件，根据题意画出相应的图形．