题目内容

已知函数y=x+ $数学公式$ （x＞0）有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0， $数学公式$ ]上是减函数，在[ $数学公式$ ，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+ $数学公式$ （x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x²+ $数学公式$ （x＞0，常数c＞0）在定义域内的单调性，并用定义证明（若有多个单调区间，请选择一个证明）；
（3）对函数y=x+ $数学公式$ 和y=x²+ $数学公式$ （x＞0，常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）= $数学公式$ + $数学公式$ 在区间[ $数学公式$ ，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

解：（1）函数y=x+ $\text{[math]}$ （x＞0）在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
所以b=±3．（漏-3，扣1分）…（4分）
（2）函数y=x²+ $\text{[math]}$ （x＞0，常数c＞0）在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数．…（2分）
证明：函数y=x²+ $\text{[math]}$ （x＞0，常数c＞0）在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数
在（0， $\text{[math]}$ ]内任取两个变量x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则 $\text{[math]}$
∵x₁，x₂∈（0， $\text{[math]}$ ]且x₁＜x₂，
∴y₁＞y₂
∴函数y=x²+ $\text{[math]}$ （x＞0，常数c＞0）在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数…（4分）
（3）作出推广：y=xⁿ+ $\text{[math]}$ （x＞0，n∈N*，常数a＞0）…（1分）
在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数．…（2分）
或作出推广：y= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （x＞0，n∈N，常数a＞0）…（1分）
在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数．…（2分）
F（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 上是减函数，在[1，2]上是增函数．…（2分）
当x=1时，F（x）_min=8；
当x= $\text{[math]}$ 或2时， $\text{[math]}$ ．…（3分）
分析：（1）根据题意可知：函数y=x+ $\text{[math]}$ （x＞0）在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数．从而当 $\text{[math]}$ 时，函数取到最小值6，故可解；
（2）根据题意可知：函数y=x²+ $\text{[math]}$ （x＞0，常数c＞0）在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数，再用定义进行证明；
（3）根据题意，结合基本不等式可作推广．利用推广结论，可知函数在 $\text{[math]}$ 上是减函数，在[1，2]上是增函数，从而可解．
点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查与基本不等式结合，研究函数的单调性，并做推广，从而研究函数的最值．