Question

在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3，4的四张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记X=|x-2|+|y-x|．
（1）求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；
（2）求随机变量X的分布列和均值．
（3）在x≤2的条件下，求X≥4的概率．

Answer 1

分析：（1）首先计算出有放回地抽两张卡片共有 16种情况，再由题意可得：|x-2|≤2，|y-x|≤3，即可得到X=|x-2|+|y-x|≤5，此时x=4，y=1进而得到答案．
（2）由题意可得：X的所有取值为0，1，2，3，4，5，再结合题意分别求出其发生的总数，即可分别求出其发生的概率，进而求出x的分布列与数学期望．
（3）有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，并且满足x≤2共有2×4=8种情况，再求出满足X≥4的情况只有x=1，y=4进而得到答案．

解答：解：（1）∵x，y可能的取值为1、2、3、4，
∴|x-2|≤2，|y-x|≤3，
∴X=|x-2|+|y-x|≤5，此时x=4，y=1
∴随机变量X的最大值为5，
∵此抽取是有放回地抽两张卡片，
∴所有情况有 4×4=16种，
∴P(X=5)=

1

16

．
答：随机变量X的最大值为5，事件“X取得最大值”的概率为

1

16

．
（2）由题意可得：X的所有取值为0，1，2，3，4，5，
由题中条件可得：
X=0时，只有 x=2，y=2这一种情况，
X=1时，有 x=2，y=3或x=2，y=1或x=3，y=3或x=1，y=1，共有四种情况，
X=2时，有 x=2，y=4或x=4，y=4或x=3，y=4或x=3，y=2，或x=1，y=2共有五种情况，
X=3时，有 x=1，y=3或x=3，y=1或x=4，y=3，共有三种情况，
X=4时，有 x=1，y=4或x=4，y=2，共有两种情况，
X=5时，此时x=4，y=1，
∴P（X=0）=

1

16

，P（ξ=1）=

4

16

=

1

4

，P（ξ=2）=

5

16

，P（X=3）=

3

16

，P（ξ=4）=

2

16

=

1

8

，P（ξ=5）=

1

16

，
所以随机变量X的分布列为：

x	0	1	2	3	4	5
P	1 16	1 4	5 16	3 16	1 8	1 16

因此，X的数学期望EX=0×

1

16

+1×

1

4

+2×

5

16

+3×

3

16

+4×

1

8

+5×

1

16

=

9

4

．
（3）有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，并且满足x≤2共有2×4=8种情况，
其中满足X≥4的情况只有x=1，y=4，
所以在x≤2的条件下，求X≥4的概率为：

1

8

．

点评：本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列与数学期望，解题的关键是能够正确求出分事件发生的概率，本题知识性较强，考查到了求概率，求分布列，求期望，是概率中一个典型题，题后要总结其解题脉络．