题目内容

设O是正三棱锥P-ABC的底面△ABC的中心,过O的动平面与PC交于S,与PA、PB的延长线分别交于Q、R,则( )
A.有最大值而无最小值
B.有最小值而无最大值
C.无最大值也无最小值
D.是与平面QRS无关的常数
【答案】分析:设正三棱锥P-ABC中,各侧棱两两夹角为α,PC与面PAB所成角为β,则vS-PQR=S△PQR•h=PQ•PRsinα)•PS•sinβ,记O到各面的距离为d,利用vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS,可得:PQ•PR•PS•sinβ=d(PQ•PR+PR•PS+PQ•PS),由此可得结论.
解答:解:设正三棱锥P-ABC中,各侧棱两两夹角为α,PC与面PAB所成角为β,
则vS-PQR=S△PQR•h=PQ•PRsinα)•PS•sinβ.
另一方面,记O到各面的距离为d,则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQSS△PQR•d=△PRS•d+S△PRS•d+△PQS•d=PQ•PRsinα+PS•PRsinα+PQ•PS•sinα,
故有:PQ•PR•PS•sinβ=d(PQ•PR+PR•PS+PQ•PS),
=常数.
故选D.
点评:本题考查三棱锥体积的计算,考查学生的探究能力,正确求体积是关键.
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