题目内容
已知函数y=x+
有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，
]上是减函数，在[
，+∞）上是增函数．
（1）若f（x）=x+
，函数在（0，a]上的最小值为4，求a的值；
（2）对于（1）中的函数在区间A上的值域是[4，5]，求区间长度最大的A（注：区间长度=区间的右端点-区间的左断点）；
（3）若（1）中函数的定义域是[2，+∞）解不等式f（a2-a）≥f（2a+4）．
| t |
| x |
| t |
| t |
（1）若f（x）=x+
| a |
| x |
（2）对于（1）中的函数在区间A上的值域是[4，5]，求区间长度最大的A（注：区间长度=区间的右端点-区间的左断点）；
（3）若（1）中函数的定义域是[2，+∞）解不等式f（a2-a）≥f（2a+4）．
分析：（1）利用性质，讨论
与区间（0，a]的关系，从而利用最小值是4，建立条件关系．
（2）根据值域为[4，5]，确定对应的变量x，然后判断最大的区间．
（3）利用函数的单调性，解不等式即可．
| a |
（2）根据值域为[4，5]，确定对应的变量x，然后判断最大的区间．
（3）利用函数的单调性，解不等式即可．
解答：解：（1）由题意的：函数f（x）在(0，
]上单调递减，在[
，+∞)上单调递增，
当a＞
时，即a＞1时函数在x=
处取得最小值，
∴f（
）=2
=4，解得a=4，
当a＜
时，即0＜a＜1时，函数在x=a处取得最小值，
∴f（a）=a+1=4，解得a=3不符合题意，舍去．
综上可得 a=4．
（2）由（1）得f（x）=x+
，又x=2时函数取得最小值4，
令x+
=5，则x2-5x+4=0，解得 x=1或 x=4，
又2∈[1，4]，
∴区间长度最大的A=[1，4]．
（3）由（1）知函数在[2，+∞）上单调递增，
∴原不等式等价于
，
解得a≥4或a=-1，
∴不等式的解集{a|a≥4或a=-1}．
| a |
| a |
当a＞
| a |
| a |
∴f（
| a |
| a |
当a＜
| a |
∴f（a）=a+1=4，解得a=3不符合题意，舍去．
综上可得 a=4．
（2）由（1）得f（x）=x+
| 4 |
| x |
令x+
| 4 |
| x |
又2∈[1，4]，
∴区间长度最大的A=[1，4]．
（3）由（1）知函数在[2，+∞）上单调递增，
∴原不等式等价于
|
解得a≥4或a=-1，
∴不等式的解集{a|a≥4或a=-1}．
点评：本题主要考查函数单调性的应用，考查学生的理解和应用能力．
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