Question

9．如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，BA⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC=1，AB=ED=EF=2，AD=DG=4．
（1）求证：BE⊥平面DEFG；
（2）求证：BF∥平面ACGD；
（3）求三棱锥A-FBC的体积．

Answer 1

分析 （1）由于平面ABC∥平面DEFG得AB∥DE，由AB=ED得四边形ABED是平行四边形，故BE∥AD，再由AD⊥平面DEFG得到BE⊥平面DEFG；
（2）取DG中点H，连接AH，FH，易证四边形ABFH是平行四边形，得出BF∥AH，从而得到BF∥平面ACGD；
（3）由平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG可知AD⊥平面ABC，于是V_棱锥A-FBC=V_棱锥F-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•AD．

解答 证明：（1）∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABED∩平面ABC=AB，平面ABED∩平面DEFG=DE，
∴AB∥DE，又∵AB=ED，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，∵AD⊥平面DEFG，
∴：BE⊥平面DEFG．
（2）取DG中点H，连接AH，FH．
则DH=$\frac{1}{2}$DG=2，∵EF∥DG，EF=2
∴EF∥DH，EF=DH，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴FH∥DE，FH=DE．
由（1）证明可知四边形ABED是平行四边形，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴AB∥FH，AB=FH，
∴四边形ABFH是平行四边形，
∴BF∥AH，又∵AH?平面ACGD，BF?平面ACGD，
∴BF∥平面ACGD．
（3）∵平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，
∴AD⊥平面ABC，
∴V_棱锥A-FBC=V_棱锥F-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•AD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×1×4=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直，线面平行的判定和几何体的体积计算，寻找直线平行与垂直的关系是解题关键．