Question

19．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-a，x＜1}\\{{x}^{2}-3ax+2{a}^{2}，x≥1}\end{array}\right.$恰有2个零点，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 ①当a≤0时，f（x）＞0恒成立，②当a＞0时，由3^x-a=0讨论，再由x²-3ax+2a²=（x-a）（x-2a）讨论，从而确定方程的根的个数．

解答 解：①当a≤0时，f（x）＞0恒成立，
故函数f（x）没有零点；
②当a＞0时，3^x-a=0，
解得，x=log₃a，又∵x＜1；
∴当a∈（0，3）时，log₃a＜1，
故3^x-a=0有解x=log₃a；
当a∈[3，+∞）时，log₃a≥1，
故3^x-a=0在（-∞，1）上无解；
∵x²-3ax+2a²=（x-a）（x-2a），
∴当a∈（0，$\frac{1}{2}$）时，
方程x²-3ax+2a²=0在[1，+∞）上无解；
当a∈[$\frac{1}{2}$，1）时，
方程x²-3ax+2a²=0在[1，+∞）上有且仅有一个解；
当a∈[1，+∞）时，
方程x²-3ax+2a²=0在[1，+∞）上有且仅有两个解；
综上所述，
当a∈[$\frac{1}{2}$，1）或a∈[3，+∞）时，
函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-a，x＜1}\\{{x}^{2}-3ax+2{a}^{2}，x≥1}\end{array}\right.$恰有2个零点，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1）∪[3，+∞）．

点评 本题考查了分段函数的性质的应用及分类讨论的思想应用．