题目内容
已知圆M的方程为(x-2)2+y2=1,直线l的方程为y=2x,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.(1)若∠APB=60°,试求点P的坐标;
(2)求的最小值;
(3)求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
【答案】分析:(1)由题可知MP=2,M(2,0),由此可求点P的坐标;
(2)利用向量的数量积公式,计算,结合切线长公式,利用配方法,即可求得最小值;
(3)求得经过A,P,M三点的圆的方程,利用圆系方程,即可得到必过定点.
解答:(1)解:设P(m,2m),由题可知MP=2,M(2,0),所以(2m)2+(m-2)2=4,解之得.
故所求点P的坐标为P(0,0)或(,). …(4分)
(2)解:设P(m,2m),则.
又,,
∴.…(7分)
又,
∴,
故的最小值. …(10分)
(3)证明:设P(m,2m),MP的中点,
因为PA是圆M的切线,所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,以MQ为半径的圆,
故其方程为,
化简得x2+y2-2x+m(-x-2y+2)=0,…(13分)
故解得或
所以经过A,P,M三点的圆必过定点(2,0)和. …(16分)
点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
(2)利用向量的数量积公式,计算,结合切线长公式,利用配方法,即可求得最小值;
(3)求得经过A,P,M三点的圆的方程,利用圆系方程,即可得到必过定点.
解答:(1)解:设P(m,2m),由题可知MP=2,M(2,0),所以(2m)2+(m-2)2=4,解之得.
故所求点P的坐标为P(0,0)或(,). …(4分)
(2)解:设P(m,2m),则.
又,,
∴.…(7分)
又,
∴,
故的最小值. …(10分)
(3)证明:设P(m,2m),MP的中点,
因为PA是圆M的切线,所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,以MQ为半径的圆,
故其方程为,
化简得x2+y2-2x+m(-x-2y+2)=0,…(13分)
故解得或
所以经过A,P,M三点的圆必过定点(2,0)和. …(16分)
点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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