题目内容

设f(x)=x+
4x
，
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在（0，2]和[2，+∞）的单调性，并用定义证明．
分析：（1）根据f(x)=x+
4
x
求出其定义域，判断是否关于原点对称．求出f（-x）的解析式与f（x）的解析式进行判断，得出奇偶性．
（2）在区间内分别设出x1＜x2．求f（x1）-f（x2），并化简为几个式子乘积或商的形式，根据给定的区间进行判断各个式子的符号，然后判断出最终f（x1）-f（x2）的符号．最后得出f（x1）与f（x2）的关系，判断与x1 和x2之间的关系，根据单调性的定义得出结论．
解答：解：（1）由f(x)=x+
4
x
知，定义域为{x|x≠0}
显然，定义域关于原点对称．
f(-x)=-x+
4
-x
=-(x+
4
x
)=-f（x）
所以．f（x）为奇函数
（2）①任取x1＜x2且x1，x2∈（0，2]
由题意，f（x1）-f（x2）=x1+
4
x1
-(x2+
4
x2
)
=（x1-x2）+4
x2-x1
x1x2

=（x1-x2）（1-
4
x1x2
）
因为x1＜x2且x1，x2∈（0，2]
则x1-x2＜0；
0＜x1x2＜4，
4
x1x2
＞1，所以1-
4
x1x2
＜0
=（x1-x2）（1-
4
x1x2
）＞0
故f（x1）＞f（x2）
所以，f（x）在（0，2]为上的减函数．
②任取x1＜x2且x1，x2∈[2，+∞）
由题意，f（x1）-f（x2）=x1+
4
x1
-(x2+
4
x2
)
=（x1-x2）+4
x2-x1
x1x2

=（x1-x2）（1-
4
x1x2
）
因为x1＜x2且x1，x2∈[2，+∞）
则x1-x2＜0；
x1x2＞4，0＜
4
x1x2
＜1，所以1-
4
x1x2
＞0
=（x1-x2）（1-
4
x1x2
）＜0
故f（x1）＜f（x2）
所以，f（x）在为[2，+∞）上的增函数．
∴f（x）在（0，2]上为减函数，[2，+∞）上为增函数．
点评：本题考查双钩函数的性质，通过双钩函数来考查奇偶性和单调性通过定义的证明．
练习册系列答案
相关题目
设h(x)=x+
m
x
，x∈[
1
4
，5]，其中m是不等于零的常数，
（1）（理）写出h（4x）的定义域；
（文）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）（文、理）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f1（x）=minf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]），f2（x）=maxf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]）．其中，minf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最小值，maxf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f1（x）=cosx，x∈[0，π]，f2（x）=1，x∈[0，π]．
（理）当m=1时，设M(x)=
h(x)+h(4x)
2
+
|h(x)-h(4x)|
2
，不等式t≤M1（x）-M2（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h1（x）-h2（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．
设f(x)=
-
x+4
x+2
，x∈[-
1
2
，0]
-4x+
3
2
，x∈(0，1]
，则f（x）的最小值为（　　）
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）
设f(x)=x+
4
x
，
（1）判断f（x）的奇偶性，
（2）判断f（x）在（0，2]和[2，+∞）的单调性，并用定义证明．

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