Question

已知向量

b

=(m，sin2x)，

c

=(cos2x，n)，x∈R，f(x)=

b

•

c

，若函数f（x）的图象经过点（0，1）和(

π

4

，1)．
（I）求m、n的值；
（II）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在x∈[0，

π

4

]上的最小值；
（III）当f(

α

2

)=

1

5

，α∈[0，π]时，求sinα的值．

Answer 1

分析：（I）利用平面向量的数量积运算求出f（x），然后把已知的两点坐标代入即可求出m和n的值；
（II）把求得的f（x）利用两角和的正弦函数公式的逆运算及特殊角的三角函数值化简为一个角的正弦函数，利用T=

2π

λ

求出周期，然后根据x的范围得到2x+

π

4

的范围，根据正弦函数的图象得到sin（2x+

π

4

）的最小值即可得到f（x）的最小值；
（III）由题意知f（

α

2

）=

1

5

，把x=

α

2

代入到f（x）中，得到一个关于sinα和cosα关系式，变形后两边平方再利用同角三角函数间的基本关系化为关于sinα的一元二次方程，求出方程的解，根据α的范围即可得到满足题意的sinα值．

解答：解：（I）f（x）=mcos2x+nsin2x，
∵f（0）=1，
∴m=1．∵f(

π

4

)=1，∴n=1．

（II）f(x)=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴f（x）的最小正周期为π．
∵x∈[0，

π

4

]，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

．
∴当x=0或x=

π

4

时，f（x）的最小值为1．

（III）∵f(

a

2

)=

1

5

，∴cosα+sinα=

1

5

，∴cosα=

1

5

-sinα．
两边平方得25sin²α-5sinα-12=0，
解得sinα=

4

5

或sinα=-

3

5

．
∵α∈[0，π]，∴sinα=

4

5

．

点评：此题是一道多知识点的综合题，既考查学生会进行平面向量的数量积的运算，以及灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，又考查了学生会求三角函数的周期，会利用正弦函数的图象求三角函数的最值．要求学生把所学的知识融汇贯穿、灵活运用．