Question

定义一个对应法则f：P（m，n）→，（m≥0，n≥0）．现有点A（1，3）与点B（3，1），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M'．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M'所经过的路线长度为

1. A.
   
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由定义的新法则f：．点A′（1，3）与点B′（3，1），点M′是线段A′B′上一动点，而不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分．然后根据弧长公式，易得答案．
解答：解：由题意知A′B′的方程为：x+y=4，
设M（x，y），则M′（x²，y²），
从而有x²+y²=4，
易知，
，
不难得出tan，∴，
tan，∴，
则，
点M′的对应点M所经过的路线长度为．
故选C．
点评：本题以定义的一种新的变换为入手点，主要考查直线与圆的有关知识，解答本题的关键是弄懂定义的本质；新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．弄懂定义的本质是解题关键；针对本题，通过阅读题意，不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分．