Question

定义一个对应法则f：P（m，n）→P′(

m

，

n

)，（m≥0，n≥0）．现有点A（1，3）与点B（3，1），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M'．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M'所经过的路线长度为（　　）

• A．

  3

• B．2
• C．

  π

  3

• D．

  π

  6

Answer 1

分析：由定义的新法则f：P/(m，n)→P(

m

，

n

)，(m≥0，n≥0)．点A′（1，3）与点B′（3，1），点M′是线段A′B′上一动点，而不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分．然后根据弧长公式，易得答案．

解答：解：由题意知A′B′的方程为：x+y=4，
设M（x，y），则M′（x²，y²），
从而有x²+y²=4，
易知A′(1，3)→A(1，

3

)，
B′ (3，1)→B(

3

，1)，
不难得出tan∠AOX=

3

，∴∠AOX=

π

3

，
tan∠BOX=

3

3

，∴∠BOX=

π

6

，
则∠AOB=

π

6

，
点M′的对应点M所经过的路线长度为2π×2×

1

12

=

π

3

．
故选C．

点评：本题以定义的一种新的变换为入手点，主要考查直线与圆的有关知识，解答本题的关键是弄懂定义的本质；新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．弄懂定义的本质是解题关键；针对本题，通过阅读题意，不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分．